Eichtheorie
Unter einer Eichtheorie versteht man eine Feldtheorie, die auf einer Eichinvarianz beruht. Die Quantenfeldtheorien, die die fundamentalen Kräfte beschreiben sind Eichtheorien.Der Name Eichttheorie geht auf den deutsch-amerikanischen Mathematiker Hermann Weyl (1885-1955) zurück, der mit dem Prinzip der Eichsymmetrie in den 1920er Jahren vergeblich versucht hatte, Elektromagnetismus und Gravitation zu einer Theorie zu vereinigen.
Was die Eichtheorie genau besagt, sei im Folgenden am Beispiel der Elektrodynamik erläutert.
Bekanntlich lässt sich die Energie eines Teilchens in einem äußeren Potential schreiben als
Definiert man nun den Impuls als
Es ist also möglich, sowohl für die Energie als auch für den Impuls einen konstanten Offset festzulegen, ohne die dadurch beschriebene Physik zu verändern. Diese Tatsache nennt man globale Eichsymmetrie.
Nun stellt sich die Frage, ob man stattdessen auch nicht-konstante Größen aufaddieren kann, ohne die Bewegungsgleichungen zu verändern, also allgemein
Es ist unmittelbar klar, dass es nicht möglich ist, beliebige Funktionen für und zu verwenden, da z.B. ein beliebiges wie ein zusätzliches Potential wirkt. Nimmt man für beide Größen beliebige Funktionen an, so zeigt Nachrechnen, dass die Bewegungsgleichungen gegeben sind durch
Die Bewegung wird nun nicht geändert, wenn die Änderung von und nicht die Felder und ändert (also insbesondere die Felder auf null lässt, wenn sie vorher null waren). Da die Rotation eines Gradientenfeldes stets null ist, ist klar, dass durch die Addition des Gradienten einer beliebigen orts- und zeitabhängigen skalaren Funktion zum Vektorpotential nichts am magnetischen Feld geändert wird. Allerdings ändert dies das elektrische Feld um die Zeitableitung eben dieses Gradienten; diese Änderung kann jedoch kompensiert werden, indem das skalare Potential um die Zeitableitung derselben Funktion verringert wird.
Die Tatsache, dass man solche speziellen orts- und zeitabhängigen Funktionen hinzufügen kann, ohne die Physik (also die beschriebene Bewegung) zu ändern, nennt man lokale Eichsymmetrie.