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Drehmoment



Als Drehmoment bezeichnet man die physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt.

Table of contents
1 Definition
2 Allgemein
3 Reale Körper
4 Beispiel
5 Vergleich mit der Translationsbewegung
6 Unterschiedliches Auftreten des Drehmoments

Definition

Greift an einem starren Körper eine Kraft an, so wird dieser in Bewegung versetzt, oder seine Geschwindigkeit verändert. Wird der Körper in einem Punkt festgehalten, so ist keine Translationsbewegung mehr möglich. Die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich dann auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d.h. die die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment. Eine einzelne Kraft kann keine Drehbewegung verursachen. Zur Beeinflussung der Drehung kommt es erst, wenn zu der angreifenden Kraft eine weitere Kraft (rückhaltende Kraft) hinzukommt. Diese zweite Kraft wird hier durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Damit die Befestigung Translationsbewegungen verhindert, also ausschließlich Drehbewegungen zulässt, muß die von der Befestigung aufgebrachte Kraft genau entgegengesetzt gleichgroß der angreifenden Kraft sein: . Neben der Größe der beiden Kräfte und kommt es bei der Drehbewegung auch auf den Abstand der beiden Punkte an, an denen die Kräfte angreifen. Der Abstand ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft zum Angriffspunkt von weist. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente von bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft (oder ) steht. ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken. Der Betrag des Drehmoments ist dann das Produkt von mit , und die Richtung des Drehmoments ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft und den Abstandsvektor aufgespannt wird, und zwar in der Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment die Definition:

.
Die physikalische Dimension des Drehmoments ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newtonmeter ().

Allgemein

Die Kraft , die der Kraft entgegenwirkt, muss nicht von außen wirken. (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten) kann auch durch die Trägheit des Körpers aufgebracht werden. Diese Trägheitskraft tritt nur bei einer Beschleunigung des Körpers auf, es kommt also zu einer Überlagerung von Translations- und Rotationsbewegung.

Reale Körper

Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmoments hervorgerufene Deformation (z.B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmoments selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, der die Deformation des Körpers einschließt. Zur Unterscheidung dieses Falles von dem der reinen Drehbewegung wird in der Technik die Größe, die auch die Deformation einschließt als Moment bezeichnet, und nur im Fall der reinen Drehbewegung von Drehmoment gesprochen.

Beispiel

Ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung des Drehmoments ist das Lösen einer festsitzenden Schraube. Wenn die Schraube horizontal angeordnet ist und man einen Schraubenschlüssel von einem Meter Länge so auf die Schraube aufsetzt, dass der Hebelarm nach links weist, so kann man zum Lösen der Schraube auf diese ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 1 m) ausüben, wenn man das Ende des Schraubenschlüssels mit einer Kraft von 100 N nach unten drückt. Die Schraube muss dabei eine rückhaltende Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung (nach oben) aufbringen, was z.B. zu einem Verkanten/Verbiegen der Schraube führen kann. Diese Situation wird mit einem kürzeren Schraubenschlüssel noch verschärft. Um mit einem halb so langen Schlüssel das selbe Drehmoment aufzubringen wird eine Kraft und Gegenkraft von 200 N benötigt (200 N · 0,5 m). Diese zusätzliche Belastung der Schraube kann komplett verhindert werden, wenn man einen Schlüssel verwendet, dessen auf die Schraube aufzusetzender Sechskant sich in der Mitte des Hebelarms des Schlüssels befindet. Wenn man bei diesem an beiden Enden mit einer Kraft von 100 Nm in entgegengesetzter Richtung zieht und der Schlüssel eine Länge von einem Meter besitzt, so wird auch hier ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 0,5 m + 100 N · 0,5 m) ausgeübt, aber ohne dass die Schraube die Rückhaltekraft aufbringen muss. Wenn man einen solchen Schlüssel nicht zur Hand hat, so kann man die Schraube auch dadurch entlasten, dass man mit der gleichen Kraft, mit der man das linke Hebelende nach unten drückt, am anderen Ende (dicht an der Schraube) nach oben zieht.

Vergleich mit der Translationsbewegung

Das Verständnis des Drehmoments kann ein Vergleich der bei einer Drehbewegung auftretenden Größen mit den charakteristischen Größen der Translationsbewegung erleichtern:

Größe Translationsbewegung Rotationsbewegung
Koordinate Ort Winkel (Positiver Drehsinn entsprechend der Rechte-Hand-Regel entgegen dem Uhrzeigersinn)
Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
Masse (Skalar (Mathematik)) Trägheitsmoment (Tensor zweiter Stufe)
Bewegungsgleichungen Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft
Im Falle konstanter Masse :
Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft
Im Falle konstanten Massenträgheitsmomentss :

Das Masseträgheitsmoment , oder auch kurz Trägheitsmoment ist allgemein nicht konstant, und kann allgemein auch nicht als Skalar dargestellt werden kann, sondern vielmehr als Tensor 2. Stufe, dem Trägheitstensor.

Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren Zeitliche Änderung (Ableitung ) handelt, z.B. , der zeitlichen Änderung des Drehimpulses: .

Unterschiedliches Auftreten des Drehmoments

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie wirken:

Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente:

  1. Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt.
  2. Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.

Bei den folgenden Größen geht es nicht um die Bewegung, sondern um die Belastung und Deformation der Körper; in der Technik werden sie daher nicht als Drehmoment, sondern als Moment bezeichnet:




     
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