Diskrete Fourier-Transformation
Die Diskrete Fourier-Transformation oder DFT ist ein Algorithmus, mit dessen Hilfe die Fourier-Transformierte eines zeitdiskreten endlichen Signals berechnet werden kann. Die DFT wird in der Signalverarbeitung verwendet um die in einem abgetasteten Signal enthaltenen Frequenzen zu untersuchen.
Table of contents |
2 Auftretende Effekte 3 Anwendungen 4 Rechen-Beispiele |
Da der DFT Algorithmus sehr viel Redundanz enthält, verwendet man in der Praxis einen optimierten Algorithmus, die
schnelle Fourier-Transformation (FFT). Die Ergebnisse von FFT und DFT sind identisch, deshalb werden die beiden Begriffe oft als Synonyme verwendet.
In der Regel entsteht das zeitdiskrete Signal durch Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals. Die durch die DFT entstehenden Spektren sind nur dann mit den Spektren des zugrundeliegenden kontinuierlichen Signals identisch, wenn bei der Abtastung das Abtasttheorem (sampling-theorem) nicht verletzt wurde. Für Signale im Basisband muss gelten, dass die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß (Nyquist-Frequenz) sein muss, wie die maximal auftretende Frequenz. Bei Verletzung des Abtasttheorems tritt eine Verfälschung des Originalsignals auf (Aliasing im Zeitbereich). Eine Möglichkeit des Anti-Aliasing ist die Bandbegrenzung des Signals am Eingang des Systems, um diesen Effekt zu vermeiden.
Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Signals kann es dazu kommen, dass das Eingangssignal abgeschnitten wird. Ein abgeschnittenes Eingangssignal kann nur dann korrekt mit der DFT transformiert werden, wenn es periodisch fortsetzbar ist. Falls das Signal nicht periodisch fortsetzbar ist, enthält es Frequenzen, die nicht zu den von der DFT berechneten diskreten Frequenzen gehören. Die DFT "nähert" diese Frequenzen durch die benachbarten Frequenzen an, dabei wird die Energie auf diese Frequenzen verteilt. Dies wird als Leck-Effekt (en: Leakage-Effect) bezeichnet.
Allgemeines
Von der Fourier-Transformation zur DFT
Formel für die Fourier-Transformation:
Formel für die DFT:
Die Konstante C ist bei verschiedenen Anwendungen unterschiedlich definiert.FFT
Auftretende Effekte
Alias-Effekt
Leck-Effekt
Anwendungen
Bei der Berechnung von Oberflächenwellenfiltern (= OFW-Filter = SAW-filter = surface acoustic wave - filter) wird die invers - Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion benötigt (stellt die Impulsantwort dar). Diese Aufgabe wird von Rechnern übernommen.Rechen-Beispiele
Die Fourier-Transformation transformiert eine Funktion von einer Zeitdarstellung in einen reziproken Frequenzraum. Dies gilt auch für Ortsfunktionen, die durch die Fouriertransformation in Raumfrequenzen überführt werden. Beugungserscheinungen in der Optik oder Röntgenanalyse können unmittelbar als die Intensitätsverteilung einer Fouriertransformierten interpretiert werden. Die Phasenbeziehung geht bei der Fotografie normalerweise verloren. Nur bei
der Holographie wird sie durch einen Trick mit aufgezeichnet.
Wir zeigen Beispiele für eine zweidimensionale Fourier-Transformation an geometrischen Mustern, gerechnet für Quadrate der diskreten Größe von 256x256 Pixeln. Das erste Bild oben links zeigt einen Spalt der Größe 8x32 Pixel, daneben die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes. Die Ortsvariable r wird überführt in reziproke (und komplexe) Werte r*. Bei den gewählten Größen wird 1 Pixel auf den reziproken Wert von 512 reziproken Pixeln überführt. Die Breite des Spalts von 8 Pixeln erscheint im Reziprok-Raum als Wert der Größe r*=512/8="64," die Höhe r*=512/32="16," mit harmonischen Frequenzen höherer Ordnung. Die Intensitätsverteilung einer Schnittlinie durch den Bildmittelpunkt reduziert die zweidimensionale Fouriertransformation auf eine eindimensionale. Das Einschub-Bild im unteren Drittel der oberen Bildreihe misst die Intensität entlang einer horizontalen Linie. Links sehen wir die Rechteckfunktion, den Wechsel von Schwarz auf Weiß auf Schwarz. Im Transformationsbild erkennen wir periodische Peaks. Sie entsprechen den Ortsfrequenzen höherer Ordnung eines Rechtecksignals, die unter dem Stichwort Fourieranalyse als Beispiel behandelt werden. Im zweiten Bild wird ein regelmäßiges Sechseck gebeugt. Wieder erscheint die Größe der Figur als Periode im Beugungsbild rechts. Die 6-zählige Symmetrie ist deutlich zu erkennen. Eine Verschiebung des Ausgangsbildes, im Gegensatz zu einer Drehung, wirkt sich nur in der Phasenbeziehung aus, die in der gewählten Darstellung als Intensitätsverteilung nicht zu erkennen ist. Das untere Bild zeigt rechts das gerechnete Beugungsmuster eines Dreiecks. Auf den ersten Blick glaubt man ebenfalls eine 6-zählige Symmetrie zu erkennen, wenn man nicht die fehlende Modulation der Beugungslinien beachten würde. | |
Der nächste Bildblock vergleicht die Beugung zweier Kreisöffnungen. Ein großer Kreis erzeugt ein kleines Beugungsmuster, und umgekehrt. Die Lichtbeugung an der Linsenöffnung begrenzt die Auflösung eines Fernrohrs. Je größer der Durchmesser ist, desto kleiner ist das Beugungsbild eines Sterns, desto besser können nahe beieinander liegende Sterne von einander unterschieden werden. Das untere Bild ist ein Beispiel für eine Beugung an einer Kreis-Struktur ohne scharfe Begrenzung. Die Beugungen höherer Ordnung, die Obertöne, sind deutlich abgeschwächt. |