Diagonalmatrix
Eine quadratische (
n,n)-
Matrix D heißt
Diagonalmatrix, wenn alle Elemente der Matrix außerhalb der
Hauptdiagonalen gleich Null sind, d.h.
dij = 0, falls
i ungleich
j. Diagonalmatrizen sind deshalb alleine durch die Angabe ihrer Diagonalen bestimmt und man schreibt häufig
- D=diag(d1, d2, ..., dn).
Bei einer Diagonalmatrix sind die Eigenwerte die Einträge auf der Diagonalen und die Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren. Eine grosse Klasse von Matrizen läßt sich durch eine Ähnlichkeitstransformation auf Diagonalform bringen, wonach man die Eigenwerte einfach ablesen kann. Diesen Prozess nennt man
Diagonalisierung, die Matrizen mit dieser Eigenschaft nennt man diagonalisierbar.
Beispiel
Die durch
-
gegebene Matrix ist diagonal. Die Eigenwerte dieser Matrix sind
Die zugehörigen Eigenvektoren lauten