Clairaut-Gleichung
Die Clairaut-Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Sie ist nach dem französischen Wissenschaftler Alexis-Claude Clairaut benannt.Zu einer vorgegebenen reellen Funktion f hat sie die folgende Form:
Durch das folgende Verfahren kann man die Lösung bestimmen: Durch Differentiation der Clairaut-Differentialgleichung erhält man
Einer der Faktoren muss gleich 0 sein:
Einsetzen in die ursprüngliche Differentialgleichung liefert
Das Ergebnis ist somit eine Gerade in der xy - Ebene
mit dem freien Parameter a (kann z. B. durch Anfangsbedingungen festgelegt werden).
Ist der andere Faktor gleich 0 so gilt
Wir betrachten nun y' als Parameter der Lösungskurve:
Einsetzen in die ursprüngliche Differentialgleichung:
Man kann nun die Schnittpunkte zwischen den Geradenlösungen und der parametrisierten Lösungskurve ermitteln:
Offensichtlich gibt es einen Schnittpunkt bei t = a; die Steigung der parametrisierten Lösung ist dort gleich der Steigung der Geraden:
Die Geradenlösungen sind also Tangenten der parametrisierten Lösung. Wenn die parametrisierte Lösung keine Wendepunkte hat, so trennt sie die Ebene daher in einen Bereich, in dem durch jeden Punkt 2 Geradenlösungen laufen, und einen Bereich, der frei von Lösungen ist; sie wird dann als Einhüllende bezeichnet. Lösungen sind dann nicht nur die Einhüllende selbst und die Geradenlösungen, sondern auch Lösungskurven, die stückweise auf Geraden und stückweise auf der Einhüllenden verlaufen.