Cauchy-Verteilung
Die Cauchy-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte- .
Table of contents |
2 Vorkommen 3 Anwendungsbeispiel 4 Literatur |
Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale divergieren. Jedoch besitzt sie einen Median und einen Modus.
Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert (X1+X2+..+Xn)/n aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt.
Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle Lévy-Verteilung mit dem Exponentenparameter β=1.
Der Quotient aus zwei Standard-normalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.
Die Cauchy-Verteilung ist eine Students t-Verteilung mit genau einem Freiheitsgrad.
Außerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Cauchy-Verteilung auch als Lorentz-Verteilung bekannt.
Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1% größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,58, beträgt bei einer Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze ca. 31. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.
Eigenschaften
Vorkommen
Anwendungsbeispiel
Literatur