Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form
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2 Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten 3 Weiterführende Literatur |
Es gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen x und y und für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung:
Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten
Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie folgt definiert:
(n! bezeichnet hierbei die Fakultät von n)
Sie werden aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten bezeichnet. (Pascalsches Dreieck)
Für jedes einzelne n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.
Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.
Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:
Für geht Gleichung (2) aber in (1) über und ist gültig für alle und alle .
Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als
(Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.)
Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.
M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten
Diese Reihe ist im Fall, dass α nicht positiv und ganzzahlig ist, konvergent für alle mit .Weiterführende Literatur