Binomialkoeffizient
In der Mathematik sind Binomialkoeffizienten bestimmte reelle Zahlen, die in vielen Bereichen auftreten, z.B. in der Kombinatorik und der Analysis.Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei Zahlen ab; wenn diese p und q sind, dann schreibt man den Binomialkoeffizienten "p über q" als
Table of contents |
2 Beispiele 3 Berechnung 4 Binomische Reihe 5 Anwendung in der Kombinatorik 6 Siehe auch 7 Weblinks |
Die einfachste Definition gilt für den Fall, dass p und q ganze Zahlen sind, wobei p ≥ 0 ist. In diesem Fall definiert man
Definition
Dabei ist p! die Fakultät von p, p! = p·(p-1)·...·2·1.
Eine Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn p eine beliebige reelle Zahl und q eine nichtnegative ganze Zahl ist. In diesem Fall ist
Die Betafunktion B(x,y) erlaubt eine Erweiterung der Definition auf reelle q, aber nur für q>-1 und p-q>-1:
Beispiele
Berechnung
Für den Binomialkoeffizienten nichtnegativer ganzer Zahlen n und k hat man folgende rekursive Darstellung:
- = 2 + 2*(1 + 1) = 2 + 4 = 6
Ein wissenschaftlicher Taschenrechner erspart in der Praxis durch die Funktionstaste "nCr" (n choose r) viel Tipparbeit:
- Eingabe p-Wert, Taste "nCr", Eingabe q-Wert, Taste "=".
Binomische Reihe
Der Name "Binomialkoeffizient" ist abgeleitet vom Auftreten in der binomischen Reihe
Beispiele
- (ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
Anwendung in der Kombinatorik
Eine Anwendung des Binomialkoeffizienten in der Kombinatorik ist die Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit p Elementen q Elemente auszuwählen, ohne auf die Reihenfolge bei der Auswahl zu achten. Damit lässt sich z.B. die Anzahl der Möglichkeiten, beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) zu ziehen, berechnen:
Siehe auch
Weblinks
- http://www.jonelo.de/java/bigal_de.html
Kleines, freies und plattformunabhängiges Programm, u. a. zur genauen Berechnung des Binomialkoeffizienten (mit Java-Quelltext)