WEB LEXIKON: Ein Blick zurück
Hauptseite | Aktueller Wikipedia-Artikel

Binomialkoeffizient



In der Mathematik sind Binomialkoeffizienten bestimmte reelle Zahlen, die in vielen Bereichen auftreten, z.B. in der Kombinatorik und der Analysis.

Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei Zahlen ab; wenn diese p und q sind, dann schreibt man den Binomialkoeffizienten "p über q" als

Table of contents
1 Definition
2 Beispiele
3 Berechnung
4 Binomische Reihe
5 Anwendung in der Kombinatorik
6 Siehe auch
7 Weblinks

Definition

Die einfachste Definition gilt für den Fall, dass p und q ganze Zahlen sind, wobei p ≥ 0 ist. In diesem Fall definiert man

Dabei ist p! die Fakultät von p, p! = p·(p-1)·...·2·1.

Eine Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn p eine beliebige reelle Zahl und q eine nichtnegative ganze Zahl ist. In diesem Fall ist

der Binomialkoeffizient "p über q". Diese Definition stimmt für nichtnegative ganzzahlige p und q mit der ersten überein.

Die Betafunktion B(x,y) erlaubt eine Erweiterung der Definition auf reelle q, aber nur für q>-1 und p-q>-1:

Beispiele

Berechnung

Für den Binomialkoeffizienten nichtnegativer ganzer Zahlen n und k hat man folgende rekursive Darstellung:

Beispiel:
= 2 + 2*(1 + 1) = 2 + 4 = 6

Sie eignet sich zum Beispiel, um alle Binomialkoeffizienten für ein vorgegebenes k zu bestimmen, ein Schema dazu ist das Pascalsche Dreieck.

Ein wissenschaftlicher Taschenrechner erspart in der Praxis durch die Funktionstaste "nCr" (n choose r) viel Tipparbeit:

Eingabe p-Wert, Taste "nCr", Eingabe q-Wert, Taste "=".

Binomische Reihe

Der Name "Binomialkoeffizient" ist abgeleitet vom Auftreten in der binomischen Reihe

Ist α ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab, d.h. alle weiteren Glieder sind 0. Für nicht ganzzahliges α liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von mit Entwicklungspunkt 0.

Beispiele

(ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)

Anwendung in der Kombinatorik

Eine Anwendung des Binomialkoeffizienten in der Kombinatorik ist die Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit p Elementen q Elemente auszuwählen, ohne auf die Reihenfolge bei der Auswahl zu achten. Damit lässt sich z.B. die Anzahl der Möglichkeiten, beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) zu ziehen, berechnen:

Siehe auch

Weblinks




     
Das Web Lexikon "Ein Blick zurück" bietet die Moeglichkeit auf einfache Art und Weise in den "alten" Wikipedia-Beiträgen zu blättern. Das Lexikon spiegelt den Stand der freien Wikipedia-Enzyklopädie vom August 2004 wider. Sie finden hier in rund 120.000 Artikel aus dieser Zeit Informationen, Erklärungen, Definitionen, Empfehlungen, Beschreibungen, Auskünfte und Bilder. Ebenso kommen Begriffserklärung, Zusammenfassung, Theorie, Information, Beschreibung, Erklärung, Definition und Geschichte nicht zu kurz. Ein Lexikon das Auskunft, Bericht, Hinweis, Bedeutung, Bild, Aufklärung, Darstellung und Schilderung zu unterschiedlichsten Themen kompakt auf einer Seite bietet.
Impressum ^ nach oben ^