Bayes-Theorem
Das Bayes-Theorem (oder auch Satz von Bayes) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach dem Mathematiker Thomas Bayes. Es gibt an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet und lautet:
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit: Falls ein totales Ereignissystem ist, mit echter Teilmenge , gilt:
Table of contents |
2 Anwendungsgebiete 3 Rechenbeispiel 4 Verständnisprobleme des Bayes-Theorems 5 Weblinks |
Die Berechnung von ist häufig einfach, aber oft ist eigentlich gesucht, also ein Vertauschen der Argumente. Für das Verständnis können der Entscheidungsbaum und die A-Priori-Wahrscheinlichkeit helfen.
In einem medizinischen Beispiel sei das Ereignis , dass ein Patient eine schwere seltene () Krankheit hat (Grundanteil).
d.h. der Patient hat eine Chance von gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte.
Probleme mit wenigen Klassen und einfachen Verteilungen lassen sich übersichtlich im Entscheidungsbaum darstellen. Die "fehlenden" Angaben werden einfach eingesetzt. Das Diagramm "rechnet mit".
Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind, können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständnisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind [1]:
Interpretation
Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen: Anwendungsgebiete
Rechenbeispiel
bezeichne die Tatsache, dass der Patient positiv auf die Krankheit getestet worden ist. Der Hersteller des Tests versichert, dass der Test eine Krankheit zu 99% erkennt () und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt (). Die Frage ist: Gegeben ein positiv getesteter Patient, wie wahrscheinlich ist er an der seltenen Krankheit erkrankt?
Die Aufgabe kann entweder
gelöst werdenLösung mit dem Satz von Bayes
Nach dem Satz von oben finden wirLösung mit dem Entscheidungsbaum
10 000
/ \\
/ \\
/ \\
2(krank) 9 998 (gesund)
/\\ /\\
/ \\ / \\
/ \\ / \\
/ \\ / \\
Test- 0 2 100 9898
ergebnis - + + -
(gerundet)
Ergebnis: 2+100=102 haben ein positives Ergebnis, obwohl 100 (=falsch positiv) von ihnen gesund sind. Diese Angaben erfolgen hier in der absoluten Häufigkeit.Verständnisprobleme des Bayes-Theorems
Weblinks