Babylonisches Wurzelziehen
Das Babylonische Wurzelziehen (oft auch Heron-Verfahren) ist ein alter iterativer Algorithmus zur Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl. Es ist ein Spezialfall des Newton-Verfahrens.Die Iterationsvorschrift lautet:
Hierbei steht für die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Der Startwert der Iteration kann, solange er nicht gleich Null ist, beliebig festgesetzt werden, wobei zu beachten ist, dass negative Werte gegen die negative Quadratwurzel konvergieren.
Table of contents |
2 Konvergenz 3 Fehler 4 Geschichte |
Dieses Verfahren ist auch unter dem Namen Heron-Verfahren bekannt. Es wurde nach Heron von Alexandria benannt und entstammt seiner Formelsammlung.triviales Beispiel
Im Folgenden ein triviales Beispiel für die Quadratwurzel aus 9 und die Annäherung nach vier Berechnungsschritten an den wahren Wert .und
Konvergenz
Das Verfahren konvergiert relativ rasch innerhalb weniger Schritte. Da es sich aus dem Newtonschen Näherungsverfahren ableiten läßt, ist die Konvergenzordnung 2.
Es gilt:
und
Fehler
Für den Fehler der Heron-Folge gilt:
(Einschließung), sowie
(quadratische Konvergenz)Geschichte