Axiom
Axiom (von griech.
tà to~n progónon axiómata, als wahr angenommener Grundsatz) nennt man eine
Aussage, die selbstverständlich ist und deshalb keiner
Begründung bedarf. Sie dient als
Grundlage für eine
deduktive Theorie (vgl. auch
Prinzip) und kann deshalb nicht selber durch diese Theorie begründet werden. Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll, so muss es notwendigerweise solche Axiome geben, denn sonst würde die
Argumentation nie enden: Jeder
Satz, den ich zur Begründung anführte, bedürfte wieder einer Begründung usw.
- Ausnahme: der Logizismus, vertreten von Gottlob Frege, der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte. (Aber dann stellt sich - nicht für ihn, aber für uns - die Frage nach der Begründung der Logik).
Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen
Anspruch auf
Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein. Mit
Gödel u. a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst, in einer "
Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also nur in einer "Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog.
Umgangssprache.
Beispiele:
- "Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt" Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen; schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nicht-euklidische Geometrien konzipiert, die zumindest bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
- "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
- "Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1" ist ein offenbar nicht umstrittenes Axiom(enschema) der Arithmetik. Es ist plausibel, weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es mit Streichhölzern schreiben), deren protomathematische Evidenz klar ist.
- "Der Raum ist homogen", d.h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. Sollte dieses Axiom nicht erfüllt sein, gäbe es, auf irgendeine Weise ausgezeichnete Stellen im Raum, deren Eigenschaften und Herkunft nur noch im Rahmen einer Religion erklärbar sind (tatsächlich definieren fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits, also einen Ort im Raum, an dem die sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind). In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses.
- Ein Axiom einer Religion oder Weltanschauung wird Dogma oder Paradigma genannt.