Austauschwechselwirkung
Die Austauschwechselwirkung ist eine Konsequenz des Pauli-Prinzips, und zwar eine logische Folge, die sich aus dem Austausch ununterscheidbarer Teilchen ergibt. Es handelt sich hierbei nicht um eine Wechselwirkung, die klassisch durch eine Kraft vermittelt wird, sondern einen rein quantenmechanischen Effekt, der sich jedoch wie eine klassische Wechselwirkung bemerkbar macht.
Table of contents |
2 Heuristische Darstellung der Austauschwechselwirkung 3 Konsequenzen der Austauschwechselwirkung |
Nach dem Pauli-Prinzip ist die
Gesamtwellenfunktion , eines Systems von
Vorüberlegungen
Fermionen antisymmetrisch, d.h. die
Wellenfunktion wechselt bei paarweiser Vertauschung
(Austausch) von jeweils zwei Teilchen ihr Vorzeichen.
Physikalisch bedeutet das Pauli-Prinzip, dass zwei Fermionen
niemals den selben Quantenzustand besetzen.
Bei einer Separation in Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion fordert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion bei symmetrischer Ortswellenfunktion eine antisymmetrische Spinwellenfunktion, und umgekehrt. Eine (anti)symmetrische Spinwellenfunktion kennzeichnet eine paarweise (anti)parallele Spinorientierung. Die Bedeutung einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion wird im weiter unten folgenden Beispiel veranschaulicht.
Für die Besetzung möglicher physikalischer
Zustände
ist deren Energieniveau entscheidend. Die Austauschwechselwirkung
berücksichtigt den Einfluss des Pauli-Prinzips auf das
Energieniveau eines Zustands. Unmittelbar hat das Pauli-Prinzip
jedoch keinen Einfluss auf das Energiniveau unterschiedlicher
Zustände. Der energetische Effekt des Pauli-Prinzips ist vielmehr
mittelbarer Natur. Am einfachsten wird dies verdeutlicht anhand
eines Beispiels mit lediglich zwei Fermionen:
In einem solchen System können die beiden Spins parallel oder
antiparallel ausgerichtet sein. Das Pauli-Prinzip ordnet diesen
beiden Konstellationen keinen energetischen Unerschied zu, es
verlangt lediglich, daß die zugehörigen Ortswellenfunktionen
antisymmetrisch, respektive symmetrisch sind. Bei
antisymmetrischer Ortswellenfunktion ist eine Lösung der
zugehörigen Bedingung gegeben durch ,
d.h. die beiden Fermionen befinden sich am selben Ort. Dies ist
prinzipiell nicht ausgeschlossen. Handelt es sich bei den
Fermionen jedoch um gleichsinnig geladene Teilchen (z.B.
Elektronen, die beide die Elementarladung
tragen), so ist aufgrund der elektrischen Abstoßung diese
Konstellation ausgeschlossen. Die Elektronen versuchen vielmehr
einen maximalen Abstand einzunehmen. Daher ist hier eine
symmetrische Ortswellenfunktion günstiger, die ihrerseits mit
einer antiparallelen Spinorientierung korreliert. D.h. aus der
Kombination des Pauli-Prinzips mit der Coulombabstoßung folgt, daß
die Konstellation mit antiparallelen Spins energetisch günstiger
ist.
Dies führt direkt zur Hundschen Regel
Allgemein ist der Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen
Fermionen begrenzt, auch ist ein Verlauf der Ortswellenfunktion
denkbar, der antisymmetrische Lösungen auch für Fermionen liefert,
die an unterschiedlichen Orten lokalisiert sind. Die begünstigte
Spinordnung in einem beliebigen Fermionensystem hängt daher vom
konkreten Verlauf der Wellenfunktion ab. In Festkörpern beobachtet
man unterschiedlichste Spinordnungen, die die magnetischen
Eigenschaften des jeweiligen Festkörpers prägen.
Siehe auch: Kooperatives Phänomen Ferromagnetismus,
Antiferromagnetismus, SpindichtewelleHeuristische Darstellung der Austauschwechselwirkung
Beispiel mit zwei Fermionen
Konsequenzen der Austauschwechselwirkung