Alternierende Gruppe
Für alle natürliche Zahlen n > 2 ist die alternierende Gruppe Altn (oder An) eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe Symn.Die Trägermenge von Altn besteht aus den geraden Permutationen von Symn, Altn besitzt die Ordnung n!/2 (= halbe Fakultät von n).
Für n > 4 gehört Altn zu den einfachen Gruppen.
Alt5 ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Punktgruppe des Ikosaeders (Ikosaedergruppe).
Table of contents |
2 Gruppeneigenschaften 3 Abgeschlossenheit |
Beispiel: Die Permutation ( 1 4 3 2 5 )
besitzt die Inversionen "4vor3", "4vor2" und "3vor2" und damit die Inversionszahl 3.
Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist, von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.
Allgemein gilt für alle n-stelligen Permutationen p1 und p2:
p2 läßt sich mit endlich vielen Transpositionen aus p1 erzeugen.
Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutationen p2:
p2 läßt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation id erzeugen.
Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit,
so könnte man im Bild links beispielsweise die Transpositionen b und c wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben.
Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sinnloser Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, ... erhöhen.
Allerdings ist es nicht möglich, ( 2 5 3 1 4 ) mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus ( 1 2 3 4 5 ) zu erzeugen.
Bei einer Transposition, die aus
Die weiter oben getroffene Aussage läßt sich verallgemeinern:
Analog kann man herleiten:
Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation. Damit führt die Annahme, eine Permutation p sei gerade und p-1 sei ungerade wegen p ◊ p-1 = id zum Widerspruch.
Siehe auch: Gruppentheorie, Symmetrische GruppeInversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen
Von einer Inversion spricht man, wenn zwei "Stellen" einer Permutation in "falscher" Reihenfolge stehen.
Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihrer Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt.Gruppeneigenschaften
Für die Menge der geraden Permutationen gilt:
Mit diesen Voraussetzungen "erbt" Altn direkt von Symn alle notwendigen Gruppeneigenschaften:
Abgeschlossenheit
Transpositionen
Als Transposition bezeichnet man eine Permutation, bei der genau 2 verschiedene Stellen vertauscht werden,
z.B. ( 1 2 5 4 3 ) bei der 3 und 5 vertauscht werden.Transpositionen und Inversionszahl
Durch eine einzelne Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl,
d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.
( ...x...yi...z... ) die neue Permutation
( ...z...yi...x... ) erzeugt,
setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:
Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.Transpositionen und Abgeschlossenheit
Da id eine gerade Permutation ist, gilt:
Wenn p und q gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen pn und pq,
so daß sich p und q als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:
Damit gilt p ◊ q = tp1 ◊ ... ◊ tpn ◊ tq1 ◊ ... ◊ tqn,
somit ist auch die Verkettung p ◊ q gerade.