Achsenabschnittsform
Die Achsenabschnittsform einer Ebene ist eine Gleichung, die diese Ebene mittels ihrer Achsenabschnitte auf den Koordinatenachsen beschreibt. Wenn a, b und c die Abschnitte auf der x-Achse, y-Achse und z-Achse sind, so lautet die Achsenabschnittsform:
- .
(Im 2-dimensionalen Raum gibt es auch die Achsenabschnittsform der Geradengleichung, siehe dort).
Table of contents |
2 Ausnahmen und Sonderfälle 3 Beispiel |
Die Achsenabschnittsform der Ebene kann man aus der Normalform herleiten. Mit einem Normalenvektor gilt für jeden Ortsvektor , der zu einem Punkt P der Ebene gehört:
Die Achsenabschnittsform existiert nicht, falls die Ebene durch den Koordinatenurspung verläuft. In diesem Falle werden alle Achsenabschnitte zugleich 0, und in der Normalform wird k = 0, so dass die Division durch k unmöglich ist.
Verläuft die Ebene parallel zu einer oder zu zwei Koordinatenachsen, so fallen ein oder zwei Spurpunkte weg, und damit fällt der betreffende Term in der Achsenabschnittsform weg. Eine Ebene, die parallel zur y-Achse verläuft, hat z.B. keinen Achsenachschnitt b, und es verbleibt nur
Eine Ebene hat den Normalenvektor
Erklärung
mit einer Konstanten k. Die Spurpunkte Sx, Sy und Sz haben insbesondere die Ortsvektoren
Wenn ist, folgt also:
d.h.
und daher
Indem man nun die Normalform
durch k dividiert, erhält man
ausmultipliziert:
und folglich die Achsenabschnittsform:Ausnahmen und Sonderfälle
Beispiel
und verläuft durch den Punkt P(3|2|1). Ihre Normalform lautet also:
Division durch 12 liefert:
also
Die Ebene hat die Achsenabschnitte a = 3, b = -4 und c = 2.
Auch im Zweidimensionalen finden Achsenabschnittsformen Anwendung, etwa die Achsenabschnittsform der Geradengleichung (y/y0=x/x0) oder die der Gleichung (y²/b=x²/a) einer um den Ursprung symmetrischen Ellipse.
Siehe auch: Spurpunkt